Dado o problema de Dirichlet com condiçöes de Neumann: u t ( x , t ) = u x x ( x , t ) − 1 0 0 u ( 0 , t ) = 0 t ≥ 0 u ( 1 , t ) = 1 / 2 t ≥ 0 u ( x , 0 ) = x 2 2 + 2 sen ( 3 π x ) cos ( 3 π x ) 0 ≤ x ≤ 1 u t ( x , t ) = u x x ( x , t ) − 1 0 0 u ( 0 , t ) = 0 t ≥ 0 u ( 1 , t ) = 1 / 2 t ≥ 0 u ( x , 0 ) = x 2 2 + 2 sen ⁡ ( 3 π x ) cos ⁡ ( 3 π x ) 0 ≤ x ≤ 1 Determine o valor de u ( 1 2 , t ) , ∀ t 0 u ( 1 2 , t ) , ∀ t 0 considerando que u ( x , t ) = e − n 2 π 2 t ⋅ sen ( 6 π x ) + x 2 2 u ( x , t ) = e − n 2 π 2 t ⋅ sen ⁡ ( 6 π x ) + x 2 2 . A 1/2 B 1/4 C 1/8 D 2 E 8

Question

Dado o problema de Dirichlet com condiçöes de Neumann: u t ( x , t ) = u x x ( x , t ) − 1 0 < x < 1 , t > 0 u ( 0 , t ) = 0 t ≥ 0 u ( 1 , t ) = 1 ...

Ed · Answer

Para determinar o valor de $ u(1/2, t) $ para $ t > 0 $, vamos usar a expressão dada para $ u(x, t) $:

$$
u(x, t) = e^{-n^2 \pi^2 t} \cdot \sin(6 \pi x) + \frac{x^2}{2}
$$

Substituindo $ x = 1/2 $:

$$
u(1/2, t) = e^{-n^2 \pi^2 t} \cdot \sin(6 \pi \cdot \frac{1}{2}) + \frac{(1/2)^2}{2}
$$

Calculando $ \sin(6 \pi \cdot \frac{1}{2}) $:

$$
\sin(3 \pi) = 0
$$

Portanto, a primeira parte da expressão se anula:

$$
u(1/2, t) = e^{-n^2 \pi^2 t} \cdot 0 + \frac{(1/2)^2}{2} = \frac{1/4}{2} = \frac{1}{8}
$$

Assim, o valor de $ u(1/2, t) $ para $ t > 0 $ é:

**C) 1/8**.

Cálculo

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