Para resolver o limite \(\lim_{x \to 0^+} \frac{f(2x) - f(0)}{x}\), primeiro precisamos calcular \(f(2x)\) e \(f(0)\). Dada a função \(f(x) = \ln(3x + 1)\): 1. Calcule \(f(0)\): \[ f(0) = \ln(3 \cdot 0 + 1) = \ln(1) = 0 \] 2. Calcule \(f(2x)\): \[ f(2x) = \ln(3(2x) + 1) = \ln(6x + 1) \] 3. Substitua na expressão do limite: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(2x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(6x + 1) - 0}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(6x + 1)}{x} \] 4. Utilize a regra de L'Hôpital (pois a forma é \( \frac{0}{0} \)): - Derivada do numerador: \(\frac{d}{dx}[\ln(6x + 1)] = \frac{6}{6x + 1}\) - Derivada do denominador: \(\frac{d}{dx}[x] = 1\) 5. Aplique a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(6x + 1)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{6}{6x + 1} \] 6. Calcule o limite: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{6}{6x + 1} = \frac{6}{1} = 6 \] Portanto, a alternativa correta é: B) 6.