Para resolver a equação do calor \( u_t = k u_{xx} \) com as condições de contorno dadas, precisamos considerar a forma da solução que se adapta a essas condições. A solução geral para a equação do calor em um domínio com condições de contorno do tipo Dirichlet (onde a função é zero nas bordas) é dada por: \[ u(x, t) = A \cdot \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cdot e^{-\mu t} \] onde \( \mu = n^2 \frac{\pi^2}{L^2} k \). Analisando as alternativas: A) \( u(x, t) = \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cdot t \) - Não é uma solução válida, pois não envolve a exponencial decrescente. B) \( u(x, t) = A \cdot \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cdot e^{-n \pi L t} \) - A forma da exponencial não está correta. C) \( u(x, t) = A \cdot \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cdot e^{\frac{n^2 \pi^2 k t}{L}} \) - A exponencial está incorreta, pois deve ser negativa. D) \( u(x, t) = A \cdot \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cdot e^{-\frac{n^2 \pi^2 k t}{L^2}} \) - A forma da exponencial está correta, mas a constante deve ser \( k \) e não \( L^2 \). E) \( u(x, t) = A \cdot \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cdot e^{-k t} \) - A forma da exponencial não está correta, pois não considera a dependência de \( n \). A alternativa correta que representa a solução da equação do calor, considerando as condições de contorno e a forma correta da exponencial, é a D: \( u(x, t) = A \cdot \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cdot e^{-\frac{n^2 \pi^2 k t}{L^2}} \).