Qual a área interior a r= tg(⌀) e entre ⌀= 0 e ⌀= π /4 A ( 4 - Pi ) / 3 B ( 4 - Pi ) / 8 C ( 4 - Pi ) / 4 D ( 4 - Pi ) / 5

Para encontrar a área interior à curva \( r = \tan(\varphi) \) entre \( \varphi = 0 \) e \( \varphi = \frac{\pi}{4} \), podemos usar a fórmula da área em coordenadas polares: \[ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\varphi \] Neste caso, \( r = \tan(\varphi) \), então: \[ A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2(\varphi) \, d\varphi \] Sabemos que \( \tan^2(\varphi) = \sec^2(\varphi) - 1 \). Portanto, a integral se torna: \[ A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2(\varphi) - 1) \, d\varphi \] Calculando a integral: \[ A = \frac{1}{2} \left[ \tan(\varphi) - \varphi \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \] Substituindo os limites: \[ A = \frac{1}{2} \left[ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{4} - (0 - 0) \right] \] \[ A = \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{\pi}{4} \right] \] \[ A = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{8} \] Agora, precisamos expressar isso em uma forma que se encaixe nas alternativas. Multiplicando por 4 para simplificar: \[ A = \frac{4}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{4 - \pi}{8} \] Portanto, a alternativa correta é: B) \((4 - \pi) / 8\).