Para determinar a derivada da função \( f(x) = x^x \), podemos usar a regra do logaritmo e a regra do produto. Vamos seguir os passos: 1. Reescrevendo a função: Podemos reescrever \( f(x) = x^x \) como \( f(x) = e^{x \ln(x)} \). 2. Derivando: Usando a regra da cadeia, temos: \[ f'(x) = e^{x \ln(x)} \cdot \frac{d}{dx}(x \ln(x)) \] 3. Derivando \( x \ln(x) \): Usamos a regra do produto: \[ \frac{d}{dx}(x \ln(x)) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1 \] 4. Substituindo: Agora, substituímos de volta: \[ f'(x) = x^x (\ln(x) + 1) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( f'(x) = \ln(x^x) \) - Incorreto, pois não é a forma correta da derivada. b) \( f'(x) = x^x + x^x \ln(x) \) - Correto, pois é a forma que encontramos. c) \( f'(x) = x^x \) - Incorreto, pois não considera a derivada corretamente. d) \( f'(x) = x^x + \ln(x) \) - Incorreto, pois falta o fator \( x^x \). e) \( f'(x) = x^{x-1} \) - Incorreto, pois não é a derivada correta. Portanto, a alternativa correta é: b) \( f'(x) = x^x + x^x \ln(x) \).