Para determinar a forma trigonométrica (ou polar) do número complexo \( z = -2 + 2i \), precisamos calcular o módulo e o argumento. 1. Cálculo do Módulo: O módulo \( r \) de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por: \[ r = \sqrt{a^2 + b^2} \] Onde \( a = -2 \) e \( b = 2 \): \[ r = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 2. Cálculo do Argumento: O argumento \( \theta \) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \] Neste caso: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{2}{-2}\right) = \tan^{-1}(-1) \] O valor de \( \tan^{-1}(-1) \) é \( -\frac{\pi}{4} \). No entanto, como o número complexo está no segundo quadrante (parte negativa do eixo real e parte positiva do eixo imaginário), devemos adicionar \( \pi \) para obter o argumento correto: \[ \theta = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \] 3. Forma Trigonométrica: A forma trigonométrica do número complexo é dada por: \[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \] Substituindo os valores de \( r \) e \( \theta \): \[ z = 2\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right) \] Portanto, a forma trigonométrica do número complexo \( z = -2 + 2i \) é: \[ z = 2\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right) \]