A equação diferencial dada é uma equação do segundo grau que descreve um sistema massa-mola-amortecedor. Para resolver essa equação, precisamos primeiro identificar os parâmetros e a forma da equação. A equação diferencial é da forma: \[ m \frac{d^2x(t)}{dt^2} + c \frac{dx(t)}{dt} + kx(t) = 0 \] Substituindo os valores dados: - \( m = 1 \, \text{kg} \) - \( c = 3 \) - \( k = 2 \) A equação se torna: \[ \frac{d^2x(t)}{dt^2} + 3 \frac{dx(t)}{dt} + 2x(t) = 0 \] Agora, a equação característica associada é: \[ r^2 + 3r + 2 = 0 \] Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes: \[ r = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2} \] As raízes são: 1. \( r_1 = -1 \) 2. \( r_2 = -2 \) Como temos raízes reais distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por: \[ x(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} \] Agora, precisamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes \( C_1 \) e \( C_2 \): 1. \( x(0) = 1 \): \[ 1 = C_1 + C_2 \] 2. \( \frac{dx(0)}{dt} = 0 \): \[ \frac{dx(t)}{dt} = -C_1 e^{-t} - 2C_2 e^{-2t} \] \[ 0 = -C_1 - 2C_2 \] Resolvendo o sistema de equações: 1. \( C_1 + C_2 = 1 \) 2. \( -C_1 - 2C_2 = 0 \) → \( C_1 + 2C_2 = 0 \) Substituindo \( C_1 = -2C_2 \) na primeira equação: \[ -2C_2 + C_2 = 1 \] \[ -C_2 = 1 \] \[ C_2 = -1 \] \[ C_1 = 2 \] Portanto, a solução particular da equação diferencial é: \[ x(t) = 2 e^{-t} - e^{-2t} \] Agora, você deve verificar as alternativas fornecidas para encontrar a que corresponde a essa solução. Se precisar de ajuda para analisar as alternativas, é só me avisar!