A questão apresenta uma equação diferencial que descreve o movimento de um sistema massa-mola-amortecedor. Vamos analisar a equação dada e as condições iniciais para determinar a solução correta. A equação diferencial é: \[ m \frac{d^2x(t)}{dt^2} + c \frac{dx(t)}{dt} + kx(t) = 0 \] Substituindo os valores fornecidos: - \( m = 1 \, \text{kg} \) - \( c = 2 \) - \( k = 2 \) A equação se torna: \[ \frac{d^2x(t)}{dt^2} + 2 \frac{dx(t)}{dt} + 2x(t) = 0 \] Agora, vamos escrever a equação característica associada: \[ r^2 + 2r + 2 = 0 \] Para encontrar as raízes, utilizamos a fórmula quadrática: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Substituindo \( a = 1 \), \( b = 2 \), e \( c = 2 \): \[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \] \[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} \] \[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} \] \[ r = \frac{-2 \pm 2i}{2} \] \[ r = -1 \pm i \] As raízes são complexas distintas, então a solução geral da equação diferencial é dada por: \[ x(t) = e^{-t}(C_1 \cos(t) + C_2 \sin(t)) \] Agora, precisamos aplicar as condições iniciais: 1. \( x(0) = 1 \) 2. \( \frac{dx(0)}{dt} = 0 \) Substituindo \( t = 0 \) na solução: \[ x(0) = e^{0}(C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0)) = C_1 = 1 \] Agora, derivamos \( x(t) \) para aplicar a segunda condição: \[ \frac{dx(t)}{dt} = e^{-t}(-C_1 \cos(t) - C_2 \sin(t)) + e^{-t}(-C_1 \sin(t) + C_2 \cos(t)) \] Substituindo \( t = 0 \): \[ \frac{dx(0)}{dt} = -C_1 + C_2 = 0 \] \[ -1 + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 1 \] Portanto, a solução final é: \[ x(t) = e^{-t}(\cos(t) + \sin(t)) \] Agora, você deve verificar as alternativas fornecidas para encontrar a que corresponde a essa solução. Se precisar de ajuda com as alternativas, por favor, forneça-as!