Para resolver essa questão, precisamos minimizar a área da superfície da caixa com base quadrada e altura \(y\), sujeita à restrição de que o volume \(V\) da caixa é igual a 1 m³. 1. Volume da caixa: O volume \(V\) é dado por: \[ V = x^2 \cdot y = 1 \] onde \(x\) é o lado da base quadrada e \(y\) é a altura. 2. Área da superfície: A área da superfície \(A\) da caixa (sem tampa) é dada por: \[ A = x^2 + 4xy \] 3. Substituindo \(y\): Da equação do volume, podemos expressar \(y\) em termos de \(x\): \[ y = \frac{1}{x^2} \] Substituindo isso na fórmula da área: \[ A = x^2 + 4x\left(\frac{1}{x^2}\right) = x^2 + \frac{4}{x} \] 4. Minimizando a área: Para encontrar o valor de \(x\) que minimiza \(A\), derivamos \(A\) em relação a \(x\) e igualamos a zero: \[ \frac{dA}{dx} = 2x - \frac{4}{x^2} \] Igualando a zero: \[ 2x - \frac{4}{x^2} = 0 \implies 2x^3 = 4 \implies x^3 = 2 \implies x = \sqrt[3]{2} \approx 1,26 \text{ m} \] 5. Calculando \(y\): \[ y = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{(\sqrt[3]{2})^2} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \approx 0,63 \text{ m} \] Portanto, as dimensões que exigem o mínimo de material na confecção da caixa são aproximadamente \(x \approx 1,26\) m e \(y \approx 0,63\) m. A alternativa correta é: D Lados \(x\) e \(y\) têm dimensões aproximadas, respectivamente, de 1,26 m e 0,63 m.