Para resolver o problema da caixa com base quadrada e altura, vamos seguir os seguintes passos: 1. Definir as variáveis: - A base da caixa é um quadrado de lado \( x \). - A altura da caixa é \( y \). - O volume da caixa é dado por \( V = x^2 \cdot y = 1 \, m³ \). 2. Expressar \( y \) em função de \( x \): \[ y = \frac{1}{x^2} \] 3. Calcular a área da superfície da caixa (sem a tampa): A área da superfície \( A \) é dada por: \[ A = x^2 + 4 \cdot (x \cdot y) \] Substituindo \( y \): \[ A = x^2 + 4 \cdot \left(x \cdot \frac{1}{x^2}\right) = x^2 + \frac{4}{x} \] 4. Minimizar a área da superfície: Para encontrar o valor de \( x \) que minimiza \( A \), derivamos \( A \) em relação a \( x \) e igualamos a zero: \[ \frac{dA}{dx} = 2x - \frac{4}{x^2} \] Igualando a zero: \[ 2x - \frac{4}{x^2} = 0 \] Multiplicando por \( x^2 \): \[ 2x^3 - 4 = 0 \implies x^3 = 2 \implies x = \sqrt[3]{2} \] 5. Encontrar \( y \): Substituindo \( x \) na equação de \( y \): \[ y = \frac{1}{(\sqrt[3]{2})^2} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \] 6. Dimensões finais: As dimensões que minimizam a área da superfície da caixa são: - Lado da base \( x = \sqrt[3]{2} \) metros. - Altura \( y = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \) metros. Essas são as dimensões que exigem o mínimo de material na confecção da caixa.