Para resolver a integral \(\int y^2 \ln y \, dy\) usando a técnica de integração por partes, vamos seguir os passos: 1. Escolha de \(u\) e \(dv\): - \(u = \ln y\) \(\Rightarrow du = \frac{1}{y} dy\) - \(dv = y^2 dy\) \(\Rightarrow v = \frac{y^3}{3}\) 2. Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 3. Substituindo os valores: \[ \int y^2 \ln y \, dy = \ln y \cdot \frac{y^3}{3} - \int \frac{y^3}{3} \cdot \frac{1}{y} \, dy \] \[ = \frac{y^3 \ln y}{3} - \frac{1}{3} \int y^2 \, dy \] 4. Calculando a integral restante: \[ \int y^2 \, dy = \frac{y^3}{3} \] Portanto, \[ \int y^2 \ln y \, dy = \frac{y^3 \ln y}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{y^3}{3} \] \[ = \frac{y^3 \ln y}{3} - \frac{y^3}{9} \] 5. Resultado final: \[ \int y^2 \ln y \, dy = \frac{y^3 \ln y}{3} - \frac{y^3}{9} + C \] onde \(C\) é a constante de integração. Assim, o valor da integral \(\int y^2 \ln y \, dy\) é \(\frac{y^3 \ln y}{3} - \frac{y^3}{9} + C\).