Use o método de Newton para encontrar as raízes das equações dadas a seguir. Execute apenas 3 iterações, em cada uma, calcule o erro relativo aproximado, verifique seu resultado substituindo o valor aproximado da raiz na equação correspondente. Como estimativa, escolha um valor contido no intervalo especifico.
a) ln(x− 1) + cos(x− 1) = 0, em [1.3, 2]

Question

Use o método de Newton para encontrar as raízes das equações dadas a seguir. Execute apenas 3 iterações, em cada uma, calcule o erro relativo aprox...

Ed · Answer

Para aplicar o método de Newton na equação $ \ln(x - 1) + \cos(x - 1) = 0 $, siga os passos abaixo:

1. **Defina a função e sua derivada**:
   - $ f(x) = \ln(x - 1) + \cos(x - 1) $
   - $ f'(x) = \frac{1}{x - 1} - \sin(x - 1) $

2. **Escolha um valor inicial**:
   - Vamos escolher $ x_0 = 1.5 $ (que está no intervalo [1.3, 2]).

3. **Iterações do método de Newton**:
   - A fórmula do método de Newton é:
     $$
     x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
     $$

### Iteração 1:
- Calcule $ f(1.5) $ e $ f'(1.5) $:
  - $ f(1.5) = \ln(0.5) + \cos(0.5) \approx -0.6931 + 0.8776 \approx 0.1845 $
  - $ f'(1.5) = \frac{1}{0.5} - \sin(0.5) \approx 2 - 0.4794 \approx 1.5206 $
- Calcule $ x_1 $:
  $$
  x_1 = 1.5 - \frac{0.1845}{1.5206} \approx 1.5 - 0.121 \approx 1.379
  $$

### Iteração 2:
- Calcule $ f(1.379) $ e $ f'(1.379) $:
  - $ f(1.379) = \ln(0.379) + \cos(0.379) \approx -0.974 + 0.927 \approx -0.047 $
  - $ f'(1.379) = \frac{1}{0.379} - \sin(0.379) \approx 2.639 - 0.368 \approx 2.271 $
- Calcule $ x_2 $:
  $$
  x_2 = 1.379 - \frac{-0.047}{2.271} \approx 1.379 + 0.0207 \approx 1.3997
  $$

### Iteração 3:
- Calcule $ f(1.3997) $ e $ f'(1.3997) $:
  - $ f(1.3997) = \ln(0.3997) + \cos(0.3997) \approx -0.920 + 0.921 \approx 0.001 $
  - $ f'(1.3997) = \frac{1}{0.3997} - \sin(0.3997) \approx 2.503 - 0.389 \approx 2.114 $
- Calcule $ x_3 $:
  $$
  x_3 = 1.3997 - \frac{0.001}{2.114} \approx 1.3997 - 0.00047 \approx 1.39923
  $$

### Cálculo do erro relativo:
O erro relativo pode ser calculado como:
$$
\text{Erro Relativo} = \left| \frac{x_{n+1} - x_n}{x_{n+1}} \right| \times 100\%
$$

- Para a primeira iteração:
  $$
  \text{Erro Relativo} = \left| \frac{1.379 - 1.5}{1.379} \right| \times 100\% \approx 8.75\%
  $$

- Para a segunda iteração:
  $$
  \text{Erro Relativo} = \left| \frac{1.3997 - 1.379}{1.3997} \right| \times 100\% \approx 1.29\%
  $$

- Para a terceira iteração:
  $$
  \text{Erro Relativo} = \left| \frac{1.39923 - 1.3997}{1.39923} \right| \times 100\% \approx 0.0335\%
  $$

### Verificação:
Substitua $ x_3 $ na equação original para verificar:
$$
f(1.39923) \approx 0
$$

Assim, você pode concluir que a raiz aproximada da equação $ \ln(x - 1) + \cos(x - 1) = 0 $ é $ x \approx 1.39923 $ após 3 iterações.

Equações Diferenciais

Métodos Numéricos em Engenharia

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Quantas iterações são necessárias para calcular a raiz de f(x) = ex−x−2 que fica no intervalo (1, 2) utilizando o método da Bisseção com o erro absoluto < 10−1.

A equação x = tanx tem uma raiz entre π/2 e 3π/2. Determiná-la pelo método das secantes com erro inferior a 10−3.

Resolva a equação x − cos(x) = 0, usando o Método da Posição Falsa com erro inferior a 10−3.

Dada a equação f(x) = x2+x−6 e f(x) = x4−3x2+x−3 determinar pelo método iterativo linear as raízes reais, tomando x0 = 1.5, com tolerância de erro ϵ < 0.01 entre duas iterações consecutivas, operando com 5 casas decimais.

Resolva o sistema.
(3 −2 5 1; −6 7 −8 1; 9 −6 19 1; 6 −4 −6 15)(x1; x2; x3; x4) = (7; −9; 23; 11)

As funções de iteração ϕ1(x) = x2/22x + 4 e ϕ2(x) = x2/2 − 2.5x + 5, geram sequências convergentes para a raiz x = 2, para qualquer aproximação inicial x0(1.5, 3). Qual das duas funções geram sequências mais rapidamente convergente para esta raiz. Justifique a resposta.

Resolva o sistema a seguir utilizando fatoração Cholesky.
4x1 − 2x2 − 4x3 = 10; −2x1 + 17x2 + 10x3 = 3; −4x1 + 10x2 + 9x3 = −7

Seja a função f(x) = x3 + x − 1 e a tolerância de ϵ = 10−6. Resolva a equação utilizando todos os métodos estudados, faça um comparativo entre esses métodos.

Seja a função f(x) = x − ex − 4, ϵ = 10−5, com x0 = 5. determine o número de interações necessárias no método da Bisseção. Use o método de Newton e o Método do Ponto Fixo, compare a rapidez da convergência.

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Resolva a equação x − cos(x) = 0, usando o Método da Posição Falsa com erro inferior a 10−3.

Dada a equação f(x) = x2+x−6 e f(x) = x4−3x2+x−3 determinar pelo método iterativo linear as raízes reais, tomando x0 = 1.5, com tolerância de erro ϵ < 0.01 entre duas iterações consecutivas, operando com 5 casas decimais.

Resolva o sistema.(3 −2 5 1; −6 7 −8 1; 9 −6 19 1; 6 −4 −6 15)(x1; x2; x3; x4) = (7; −9; 23; 11)

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Resolva o sistema a seguir utilizando fatoração Cholesky.4x1 − 2x2 − 4x3 = 10; −2x1 + 17x2 + 10x3 = 3; −4x1 + 10x2 + 9x3 = −7

Seja a função f(x) = x3 + x − 1 e a tolerância de ϵ = 10−6. Resolva a equação utilizando todos os métodos estudados, faça um comparativo entre esses métodos.

Seja a função f(x) = x − ex − 4, ϵ = 10−5, com x0 = 5. determine o número de interações necessárias no método da Bisseção. Use o método de Newton e o Método do Ponto Fixo, compare a rapidez da convergência.

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