Resolva o sistema. (3 −2 5 1; −6 7 −8 1; 9 −6 19 1; 6 −4 −6 15)(x1; x2; x3; x4) = (7; −9; 23; 11)

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Métodos Numéricos em Engenharia

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Para resolver o sistema de equações representado pela matriz, você pode usar o método de eliminação de Gauss ou a regra de Cramer. Vamos resolver passo a passo usando a eliminação de Gauss. O sistema é: \[ \begin{cases} 3x_1 - 2x_2 + 5x_3 + x_4 = 7 \\ -6x_1 + 7x_2 - 8x_3 + x_4 = -9 \\ 9x_1 - 6x_2 + 19x_3 + x_4 = 23 \\ 6x_1 - 4x_2 - 6x_3 + 15x_4 = 11 \end{cases} \] 1. Formar a matriz aumentada: \[ \begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 & 1 & | & 7 \\ -6 & 7 & -8 & 1 & | & -9 \\ 9 & -6 & 19 & 1 & | & 23 \\ 6 & -4 & -6 & 15 & | & 11 \end{pmatrix} \] 2. Aplicar operações elementares para triangularizar a matriz. Após realizar as operações necessárias, você encontrará a forma escalonada da matriz. 3. Resolver o sistema a partir da matriz triangular. Após a triangularização, você pode usar substituição retroativa para encontrar os valores de \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) e \(x_4\). Se precisar de ajuda com os cálculos específicos, me avise!

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Use o método de Newton para encontrar as raízes das equações dadas a seguir. Execute apenas 3 iterações, em cada uma, calcule o erro relativo aproximado, verifique seu resultado substituindo o valor aproximado da raiz na equação correspondente. Como estimativa, escolha um valor contido no intervalo especifico.
a) ln(x− 1) + cos(x− 1) = 0, em [1.3, 2]

Quantas iterações são necessárias para calcular a raiz de f(x) = ex−x−2 que fica no intervalo (1, 2) utilizando o método da Bisseção com o erro absoluto < 10−1.

A equação x = tanx tem uma raiz entre π/2 e 3π/2. Determiná-la pelo método das secantes com erro inferior a 10−3.

Resolva a equação x − cos(x) = 0, usando o Método da Posição Falsa com erro inferior a 10−3.

Dada a equação f(x) = x2+x−6 e f(x) = x4−3x2+x−3 determinar pelo método iterativo linear as raízes reais, tomando x0 = 1.5, com tolerância de erro ϵ < 0.01 entre duas iterações consecutivas, operando com 5 casas decimais.

As funções de iteração ϕ1(x) = x2/22x + 4 e ϕ2(x) = x2/2 − 2.5x + 5, geram sequências convergentes para a raiz x = 2, para qualquer aproximação inicial x0(1.5, 3). Qual das duas funções geram sequências mais rapidamente convergente para esta raiz. Justifique a resposta.

Resolva o sistema a seguir utilizando fatoração Cholesky.
4x1 − 2x2 − 4x3 = 10; −2x1 + 17x2 + 10x3 = 3; −4x1 + 10x2 + 9x3 = −7

Seja a função f(x) = x3 + x − 1 e a tolerância de ϵ = 10−6. Resolva a equação utilizando todos os métodos estudados, faça um comparativo entre esses métodos.

Seja a função f(x) = x − ex − 4, ϵ = 10−5, com x0 = 5. determine o número de interações necessárias no método da Bisseção. Use o método de Newton e o Método do Ponto Fixo, compare a rapidez da convergência.

Equações Diferenciais

Resolva o sistema. (3 −2 5 1; −6 7 −8 1; 9 −6 19 1; 6 −4 −6 15)(x1; x2; x3; x4) = (7; −9; 23; 11)

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Quantas iterações são necessárias para calcular a raiz de f(x) = ex−x−2 que fica no intervalo (1, 2) utilizando o método da Bisseção com o erro absoluto < 10−1.

A equação x = tanx tem uma raiz entre π/2 e 3π/2. Determiná-la pelo método das secantes com erro inferior a 10−3.

Resolva a equação x − cos(x) = 0, usando o Método da Posição Falsa com erro inferior a 10−3.

Dada a equação f(x) = x2+x−6 e f(x) = x4−3x2+x−3 determinar pelo método iterativo linear as raízes reais, tomando x0 = 1.5, com tolerância de erro ϵ < 0.01 entre duas iterações consecutivas, operando com 5 casas decimais.

As funções de iteração ϕ1(x) = x2/22x + 4 e ϕ2(x) = x2/2 − 2.5x + 5, geram sequências convergentes para a raiz x = 2, para qualquer aproximação inicial x0(1.5, 3). Qual das duas funções geram sequências mais rapidamente convergente para esta raiz. Justifique a resposta.

Resolva o sistema a seguir utilizando fatoração Cholesky.4x1 − 2x2 − 4x3 = 10; −2x1 + 17x2 + 10x3 = 3; −4x1 + 10x2 + 9x3 = −7

Seja a função f(x) = x3 + x − 1 e a tolerância de ϵ = 10−6. Resolva a equação utilizando todos os métodos estudados, faça um comparativo entre esses métodos.

Seja a função f(x) = x − ex − 4, ϵ = 10−5, com x0 = 5. determine o número de interações necessárias no método da Bisseção. Use o método de Newton e o Método do Ponto Fixo, compare a rapidez da convergência.

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