Calculando a integral dupla SR ysen(xy) dA onde obtém-se R Selecione a resposta: = = [1,2] X [0, π] A 1 B 0 C -3 D 2 E 5

Question

Ed · Answer

Para calcular a integral dupla $ \iint_R y \sin(xy) \, dA $ sobre a região $ R = [1, 2] \times [0, \pi] $, precisamos primeiro definir a integral:

$$
\int_0^\pi \int_1^2 y \sin(xy) \, dx \, dy
$$

Vamos calcular a integral interna primeiro:

1. **Integral interna**: $ \int_1^2 y \sin(xy) \, dx $

Usando a substituição $ u = xy $, temos $ du = y \, dx $ ou $ dx = \frac{du}{y} $. Quando $ x = 1 $, $ u = y $ e quando $ x = 2 $, $ u = 2y $.

Assim, a integral se torna:

$$
\int_y^{2y} \sin(u) \, du = -\cos(u) \bigg|_y^{2y} = -\cos(2y) + \cos(y)
$$

2. **Integral externa**: Agora precisamos integrar em relação a $ y $:

$$
\int_0^\pi (-\cos(2y) + \cos(y)) \, dy
$$

Calculando cada parte:

- Para $ -\cos(2y) $:

$$
-\frac{1}{2} \sin(2y) \bigg|_0^\pi = -\frac{1}{2} (\sin(2\pi) - \sin(0)) = 0
$$

- Para $ \cos(y) $:

$$
\sin(y) \bigg|_0^\pi = \sin(\pi) - \sin(0) = 0
$$

Portanto, a integral total é:

$$
0 + 0 = 0
$$

Assim, a resposta correta é: **B) 0**.

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