Como achar os extremos absolutos de funções? EX.: f(x) = x^3 - 3x^2 sendo x E [-1,3]

Primeiramente, precisamos encontrar os pontos críticos.

f (x) = x³ - 3x² => f' (x) = 3x² - 6x

f' (x) = 0 => 3x² - 6x = 0 => x(3x - 6) = 0; Logo, x = 0 ou x = 2.

Fazendo a derivada segunda encontramos:

f" (x) = 6x - 6

Aplicando os pontos críticos na derivada segunda obtemos:

f" (0) = 6.0 - 6 = -6<0 (ponto máximo)

f" (2) = 6.2 - 6 = 6>0 (ponto mínimo)

De posse dessas conclusões, podemos substituir os pontos encontrados e os pontos do domínio na função inicial.

f (0) = 0 - 3.0 = 0

f (-1) = (-1)³ - 3(-1)² = -4

f (3) = 3³ - 3(3)² = 0

f (2) = 2³ - 3(2)² = -4

Finalmente, podemos escrever os seguintes pares ordenados:

(-1,-4); (0,0); (2,-4); (3,0)

Plotando esses quatro pontos no plano cartesiano, você irá perceber que a função possui um máximo global quando y=0 e um mínimo global quando y=-4.

Espero ter ajudado!

O primeiro passo é determinar a derivada da função \(f(x)=x^3-3x^2\).

Assim,temos que:

\(f'(x)=3x^2-6x\)

Agora, fazemos

 \(f'(x)=0\)

Daí temos que:

\(3x^2-6x=0\)

Reescrevendo a última equação obtida da forma a seguir:

\(3x(x-2)=0\)

E isto implica que:

\(x=0\) ou \(x=2\)

Se \(x=0\), obtemos que:\(f(0)=0\) e 

 se \(x=2\) obtemos que:\(f(2)=-4\) 

Logo, os pontos 0 e -4 são os extremos procurados.