Para encontrar as coordenadas do centro de gravidade (CG) da região limitada pelas curvas \(y^{2}=x\), \(x+y=2\) e \(y=0\) no primeiro quadrante, siga os passos abaixo: 1. Identifique as curvas: - A curva \(y^2 = x\) é uma parábola que abre para a direita. - A reta \(x + y = 2\) pode ser reescrita como \(y = 2 - x\). - A linha \(y = 0\) é o eixo x. 2. Determine os pontos de interseção: - Para encontrar os limites da região, resolva as equações \(y^2 = x\) e \(x + y = 2\): - Substitua \(x\) por \(y^2\) na equação da reta: \[ y^2 + y - 2 = 0 \] Fatorando, temos: \[ (y - 1)(y + 2) = 0 \] Portanto, \(y = 1\) (no primeiro quadrante) e \(y = -2\) (não é relevante aqui). - Substituindo \(y = 1\) na equação \(x = y^2\): \[ x = 1^2 = 1 \] - Assim, o ponto de interseção é \((1, 1)\). 3. Determine a área da região: - A área \(A\) da região pode ser calculada pela integral: \[ A = \int_0^1 (2 - y^2) \, dy \] - Calcule a integral: \[ A = \int_0^1 (2 - y^2) \, dy = \left[ 2y - \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \] 4. Calcule as coordenadas do CG: - As coordenadas do centro de gravidade \((\bar{x}, \bar{y})\) são dadas por: \[ \bar{x} = \frac{1}{A} \int_0^1 x(y) \, dy \] \[ \bar{y} = \frac{1}{A} \int_0^1 y \cdot (2 - y^2) \, dy \] - Para \(\bar{x}\): \[ \bar{x} = \frac{1}{\frac{5}{3}} \int_0^1 y^2 \, dy = \frac{3}{5} \cdot \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{5} \] - Para \(\bar{y}\): \[ \bar{y} = \frac{1}{\frac{5}{3}} \int_0^1 y(2 - y^2) \, dy = \frac{3}{5} \cdot \left( \int_0^1 2y \, dy - \int_0^1 y^3 \, dy \right) \] \[ = \frac{3}{5} \cdot \left( \left[ y^2 \right]_0^1 - \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^1 \right) = \frac{3}{5} \cdot \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20} \] 5. Resultado: - As coordenadas do centro de gravidade são: \[ \bar{x} = \frac{1}{5}, \quad \bar{y} = \frac{9}{20} \] Portanto, o centro de gravidade da região é \(\left(\frac{1}{5}, \frac{9}{20}\right)\).