Determine o raio e o intervalo de convergência respectivamente da série de potência soma ♾️/1 1/k(x-3)^k11/k

Para determinar o raio de convergência da série de potência \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} (x-3)^k\), podemos usar o teste da razão ou o teste da raiz. Aqui, vamos usar o teste da razão. A série é da forma \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\), onde \(a_k = \frac{1}{k} (x-3)^k\). Calculamos o limite: \[ L = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| \] Substituindo \(a_k\) e \(a_{k+1}\): \[ L = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{k+1} (x-3)^{k+1}}{\frac{1}{k} (x-3)^k} \right| = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{k}{k+1} (x-3) \right| = |x-3| \lim_{k \to \infty} \frac{k}{k+1} = |x-3| \] Para a série convergir, precisamos que \(L < 1\): \[ |x-3| < 1 \] Isso nos dá o raio de convergência \(R = 1\). Agora, o intervalo de convergência é: \[ 2 < x < 4 \] Portanto, o raio de convergência é \(R = 1\) e o intervalo de convergência é \( (2, 4) \).