Para resolver essa questão, vamos primeiro definir as equações da hipérbole e da elipse. 1. Elipse: A equação da elipse horizontal com centro na origem (0,0), eixo maior de comprimento 50 e excentricidade 0,6 é dada por: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Onde \(a\) é o semi-eixo maior e \(b\) é o semi-eixo menor. Sabemos que \(a = \frac{50}{2} = 25\). Para encontrar \(b\), usamos a relação da excentricidade: \[ e = \frac{c}{a} \] Onde \(c\) é a distância do centro aos focos. Sabemos que \(e = 0,6\), então: \[ c = e \cdot a = 0,6 \cdot 25 = 15 \] E, pela relação \(c^2 = a^2 - b^2\): \[ 15^2 = 25^2 - b^2 \implies 225 = 625 - b^2 \implies b^2 = 400 \implies b = 20 \] Portanto, a equação da elipse é: \[ \frac{x^2}{25^2} + \frac{y^2}{20^2} = 1 \quad \text{ou} \quad \frac{x^2}{625} + \frac{y^2}{400} = 1 \] 2. Hipérbole: A equação da hipérbole horizontal com centro na origem e eixo real de comprimento 4 é dada por: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Onde \(a = 2\) (já que o tamanho do eixo real é 4). Para encontrar \(b\), usamos a relação dos focos, que são os mesmos da elipse. Assim, \(c = 15\) (como calculado anteriormente): \[ c^2 = a^2 + b^2 \implies 15^2 = 2^2 + b^2 \implies 225 = 4 + b^2 \implies b^2 = 221 \] Portanto, a equação da hipérbole é: \[ \frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{221} = 1 \quad \text{ou} \quad \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{221} = 1 \] 3. Interseção: Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações. Vamos resolver o sistema: \[ \frac{x^2}{625} + \frac{y^2}{400} = 1 \quad \text{(1)} \] \[ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{221} = 1 \quad \text{(2)} \] Da equação (1), isolamos \(y^2\): \[ y^2 = 400 \left(1 - \frac{x^2}{625}\right) = 400 - \frac{400x^2}{625} \] Substituímos \(y^2\) na equação (2): \[ \frac{x^2}{4} - \frac{400 - \frac{400x^2}{625}}{221} = 1 \] Resolvendo essa equação, você encontrará os valores de \(x\) e, em seguida, substituindo esses valores de volta na equação da elipse ou da hipérbole, você encontrará os valores correspondentes de \(y\). Ao final, você terá 4 pontos de interseção, que são as coordenadas que você procura.