Para analisar a convergência das séries \( s_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 2n} \) e \( t_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^7 + 1}} \), podemos usar o teste da comparação. 1. Série \( s_n \): - Para \( n \) grande, \( n^3 + 2n \) se comporta como \( n^3 \). - Assim, \( \frac{1}{n^3 + 2n} \sim \frac{1}{n^3} \). - A série \( \sum \frac{1}{n^3} \) é convergente (pelo teste p, onde \( p = 3 > 1 \)). - Portanto, \( s_n \) é convergente. 2. Série \( t_n \): - Para \( n \) grande, \( \sqrt{n^7 + 1} \sim \sqrt{n^7} = n^{7/2} \). - Assim, \( \frac{1}{\sqrt{n^7 + 1}} \sim \frac{1}{n^{7/2}} \). - A série \( \sum \frac{1}{n^{7/2}} \) também é convergente (pelo teste p, onde \( p = 7/2 > 1 \)). - Portanto, \( t_n \) é convergente. Com isso, a alternativa correta é: Ambas são convergentes.