Calcule, usando integração por partes, I = ∫ e 1 x ln x dx.

Para calcular a integral \( I = \int e^{\frac{1}{x}} \ln x \, dx \) usando integração por partes, vamos escolher: - \( u = \ln x \) (então \( du = \frac{1}{x} \, dx \)) - \( dv = e^{\frac{1}{x}} \, dx \) (para encontrar \( v \), precisamos integrar \( dv \)) A integral de \( e^{\frac{1}{x}} \) não é elementar, mas podemos usar a integração por partes da seguinte forma: A fórmula de integração por partes é: \[ I = uv - \int v \, du \] Substituindo os valores: 1. Calcule \( v \) a partir de \( dv = e^{\frac{1}{x}} \, dx \). 2. A integral \( \int e^{\frac{1}{x}} \, dx \) não tem uma forma simples, mas podemos deixá-la como está. Assim, a integral se torna: \[ I = \ln x \cdot v - \int v \cdot \frac{1}{x} \, dx \] Como a integral de \( e^{\frac{1}{x}} \) não é simples, o resultado final pode ser expresso em termos de uma função especial ou deixado em forma de integral. Portanto, a solução exata pode não ser expressa em termos de funções elementares. Se precisar de mais detalhes ou de um método alternativo, sinta-se à vontade para perguntar!