Considere a função h(x) = 1/x − x 3 com x > 0. (a) Mostre que h é inversível.

Definição: h(x) = y será inversível somente se h¯¹(y) = x

Neste caso, sendo h(x) = y = 1/x - 3x ∴ y = x¯¹ - 3x ∴ y = x (x¯² - 3 ) ∴ x = (x¯² - 3 ) / y

Logo, a função inversa é justamente x = (x¯² - 3 ) / y, basta fazer o teste para verifcar que atende à definição acima.

\(h(x) \to x \\ x \to h^{-1}(x)\)

Substituindo:

\(x = \frac{1}{h^{-1}} - (h^{-1})^3 \\ (h^{-1})^3 + xh^{-1} - 1 = 0 \\\)

A equação cúbica anterior, em y, tem solução pelo Teorema Fundamental da Álgebra. Como é uma polinomial de grau ímpar, ao menos uma das soluções é real.

Portanto, h é inversível.