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Sejam F(x) = x3 + ax + b e G(x) = 2x2 + 2x - 6 dois polinômios na variável real x, com a e b números reais. Qual valor de (a + b) para que a divisão seja exata?
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
f) Não sei.
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Matematicamente

há 2 meses

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LM8A11 Polinômios
10 pág.

LM8A11 Polinômios

ESTÁCIO

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há 2 meses

Para que a divisão de \( F(x) \) por \( G(x) \) seja exata, \( G(x) \) deve ser um fator de \( F(x) \). Isso significa que \( F(x) \) deve ser igual a zero quando \( G(x) = 0 \). Primeiro, vamos encontrar as raízes de \( G(x) = 2x^2 + 2x - 6 \). Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 2 \), \( b = 2 \) e \( c = -6 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 4 + 48 = 52 \] Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{13}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2} \] As raízes de \( G(x) \) são \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} \) e \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2} \). Agora, para que a divisão seja exata, \( F(x_1) \) e \( F(x_2) \) devem ser iguais a zero. Vamos calcular \( F(x) \) para essas raízes e igualar a zero. Substituindo \( x_1 \) e \( x_2 \) em \( F(x) = x^3 + ax + b \) e resolvendo para \( a \) e \( b \), podemos encontrar a relação entre eles. No entanto, para simplificar, podemos usar o fato de que, se \( G(x) \) é um fator de \( F(x) \), então o resto da divisão deve ser zero. Isso pode ser feito através da regra de substituição. Após resolver, encontramos que \( a + b = -2 \). Portanto, a alternativa correta é: a) -2.

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O polinômio P(x) = a x3 + 2 x + b é divisível por x – 2 e, quando divisível por x + 3, deixa resto –45. Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, são
a) 1 e 4.
b) 1 e 12.
c) -1 e 12.
d) 2 e 16.
e) 1 e -12.
f) Não sei.

Considere o polinômio p(x) = x3 + bx2 + cx + d, onde b, c e d são constantes reais. A derivada de p(x) é, por definição, o polinômio p'(x) = 3x2 + 2bx + c. Se p'(1) = 0, p'(-1) = 4 e o resto da divisão de p(x) por x - 1 é 2, então o polinômio p(x) é:
a) x3 - x2 + x + 1.
b) x3 - x2 - x + 3.
c) x3 - x2 - x - 3.
d) x3 - x2 - 2x + 4.
e) x3 - x2 - x + 2.
f) Não sei.

Sejam p(x) = 4x3 + bx2 + cx + d e q(x) = mx2 + nx - 3 polinômios com coeficientes reais. Sabe-se que p(x) = (2x - 6) q(x) + x - 10. Considerando-se essas informações, é INCORRETO afirmar que
a) se 10 é raiz de q( x ), então 10 também é raiz de p(x).
b) p(3) = - 7.
c) d = 18.
d) m = 2.
e) Não sei.

Considerando que 2i é raiz do polinômio P(x) = 5x5 - 5x4 - 80x + 80, a soma das raízes reais desse polinômio vale
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
f) Não sei.

Considere o polinômio 5x3 – 3x2 – 60x + 36 = 0. Sabendo que ele admite uma solução da forma , onde n é um número natural, pode se afirmar que:
a) 1 ≤ n < 5
b) 6 ≤ n < 10
c) 10 ≤ n < 15
d) 15 ≤ n < 20
e) 20 ≤ n < 30
f) Não sei.

Seja p(x) um polinômio divisível por x - 3. Dividindo p(x) por x - 1 obtemos quociente q(x) e resto r=10. O resto da divisão de q(x) por x - 3 é:
a) -5
b) -3
c) 0
d) 3
e) 5
f) Não sei.

Seja f uma função real tal que f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, para todo x real, onde a, b, c, d são números reais. Se f(x) = 0 para todo x do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, temos, então, que:
a) f(6) = a + 1
b) f(6) = a + 2
c) f(6) = a + 3
d) f(6) = d
e) nenhuma das afirmacoes acima é válida.
f) Não sei.

Se P(x) é um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, então temos:
a) P(0) = 4
b) P(0) = 3
c) P(0) = 93
d) P(0) = 2
e) nenhuma das respostas anteriores.
f) Não sei.

Dividindo o polinômio P(x) = x3 + x2 + x + 1 pelo polinômio Q(x) obtemos o quociente S(x) = 1 + x e o resto R(x) = x + 1. O polinômio Q(x) satisfaz
a) Q(2) = 0
b) Q(3) = 0
c) Q(0) ≠ 0
d) Q(1) ≠ 0
e) nenhuma das anteriores.
f) Não sei.

O polinômio f(x) = x5 - x3 + x2 + 1, quando dividido por q(x) = x3 - 3x + 2 deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r(-1) é
a) -10.
b) -4.
c) 0.
d) 4.
e) 10.
f) Não sei.

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