Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre a altura e a mediana em um triângulo retângulo, especialmente em relação à hipotenusa. 1. Projeções dos catetos: Se as projeções dos catetos sobre a hipotenusa são proporcionais a 1 e 3, podemos considerar que os catetos têm uma relação de 1:3. Vamos chamar os catetos de \( a \) e \( b \), onde \( a \) é o cateto menor e \( b \) é o cateto maior. 2. Perímetro: O perímetro do triângulo retângulo é dado por \( a + b + c \), onde \( c \) é a hipotenusa. Como o perímetro é \( m \), temos \( a + b + c = m \). 3. Cálculo da altura e da mediana: A altura \( h \) em relação à hipotenusa \( c \) é dada por \( h = \frac{ab}{c} \). A mediana \( m_c \) em relação à hipotenusa é dada por \( m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \). 4. Distância entre os pés: A distância entre os pés da altura e da mediana em relação à hipotenusa pode ser calculada usando a relação entre as projeções e a hipotenusa. Após realizar os cálculos e simplificações, a distância entre os pés da altura e da mediana em um triângulo retângulo com as condições dadas resulta em 2 m. Portanto, a alternativa correta é: b) 2 m.