Para resolver essa questão, vamos seguir os passos: 1. Tratar o 3 e o 4 como um único bloco: Como o 3 e o 4 devem estar sempre juntos, podemos considerá-los como um único "algarismo" ou bloco. Assim, temos os blocos: (34), 1, 2, 5, 6. Isso nos dá 5 "algarismos" para organizar. 2. Calcular as permutações dos blocos: Temos 5 blocos para organizar, que podem ser dispostos de \(5!\) maneiras. \[ 5! = 120 \] 3. Permutações dentro do bloco (34): Dentro do bloco (34), os dígitos 3 e 4 podem ser organizados de 2 maneiras: (34) ou (43). 4. Total sem restrições: Portanto, o total de arranjos sem considerar a restrição de que 1 e 2 não podem ser adjacentes é: \[ 120 \times 2 = 240 \] 5. Considerar a restrição de 1 e 2 não adjacentes: Para calcular isso, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão. Primeiro, calculamos o total de arranjos onde 1 e 2 estão juntos. - Se 1 e 2 estão juntos, podemos tratá-los como um bloco (12) ou (21). Assim, temos os blocos: (12), (34), 5, 6, totalizando 4 blocos. - O número de arranjos desses 4 blocos é \(4!\): \[ 4! = 24 \] - Dentro do bloco (12), temos 2 arranjos: (12) ou (21). - Portanto, o total de arranjos com 1 e 2 juntos é: \[ 24 \times 2 = 48 \] 6. Subtrair os arranjos indesejados: Agora, subtraímos os arranjos onde 1 e 2 estão juntos do total de arranjos: \[ 240 - 48 = 192 \] No entanto, parece que não temos essa opção nas alternativas. Vamos revisar as opções: a) 144. b) 180. c) 240. d) 288. e) 360. f) Não sei. A resposta correta, considerando as opções, é que não encontramos um número que se encaixa. Portanto, a resposta correta é: f) Não sei.