Para resolver a integral tripla da função \( f(x, y, z) = xy - z \) sobre a região \( S \) limitada pelos planos coordenados e pelos planos \( x = 4 \), \( y = -1 \) e \( z = 1 \), precisamos primeiro entender os limites de integração. A região \( S \) é definida por: - \( 0 \leq x \leq 4 \) - \( -1 \leq y \leq 0 \) (considerando que a região é limitada pelos planos coordenados) - \( 0 \leq z \leq 1 \) Agora, a integral tripla pode ser expressa como: \[ \int_0^4 \int_{-1}^0 \int_0^1 (xy - z) \, dz \, dy \, dx \] Vamos calcular a integral passo a passo: 1. Integral em relação a \( z \): \[ \int_0^1 (xy - z) \, dz = \left[ xyz - \frac{z^2}{2} \right]_0^1 = xy - \frac{1}{2} \] 2. Integral em relação a \( y \): \[ \int_{-1}^0 \left( xy - \frac{1}{2} \right) \, dy = \int_{-1}^0 xy \, dy - \int_{-1}^0 \frac{1}{2} \, dy \] A primeira parte: \[ \int_{-1}^0 xy \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{-1}^0 = x \left( 0 - \frac{1}{2} \right) = -\frac{x}{2} \] A segunda parte: \[ \int_{-1}^0 \frac{1}{2} \, dy = \frac{1}{2} \left[ y \right]_{-1}^0 = \frac{1}{2} (0 + 1) = \frac{1}{2} \] Portanto: \[ \int_{-1}^0 \left( xy - \frac{1}{2} \right) \, dy = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{x + 1}{2} \] 3. Integral em relação a \( x \): \[ \int_0^4 -\frac{x + 1}{2} \, dx = -\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_0^4 = -\frac{1}{2} \left( \frac{16}{2} + 4 \right) = -\frac{1}{2} (8 + 4) = -\frac{12}{2} = -6 \] Portanto, o resultado da integral tripla é \( -6 \). No entanto, como a pergunta pede para marcar a alternativa correta e nenhuma das opções corresponde a esse resultado, parece que houve um erro na formulação da questão ou nas opções. Dado que as opções são: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 A resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você deve criar uma nova pergunta.