Para encontrar o jacobiano associado à mudança de variáveis dada, precisamos calcular o determinante da matriz jacobiana, que é formada pelas derivadas parciais das novas variáveis em relação às variáveis originais. As relações dadas são: - \( x = u^2 \) - \( y = v \) - \( z = w^2 \) Agora, vamos calcular as derivadas parciais: 1. \( \frac{\partial x}{\partial u} = 2u \) 2. \( \frac{\partial x}{\partial v} = 0 \) 3. \( \frac{\partial x}{\partial w} = 0 \) 4. \( \frac{\partial y}{\partial u} = 0 \) 5. \( \frac{\partial y}{\partial v} = 1 \) 6. \( \frac{\partial y}{\partial w} = 0 \) 7. \( \frac{\partial z}{\partial u} = 0 \) 8. \( \frac{\partial z}{\partial v} = 0 \) 9. \( \frac{\partial z}{\partial w} = 2w \) Agora, montamos a matriz jacobiana \( J \): \[ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2u & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2w \end{bmatrix} \] O determinante dessa matriz é: \[ \text{det}(J) = (2u) \cdot (1) \cdot (2w) = 4uw \] Portanto, o jacobiano associado à mudança de coordenadas é \( J = 4uw \). Analisando as alternativas, a correta é: B. \( J = 4uw \).