Suponha que a função 𝑦 ( 𝑥 ) = 𝑐 1 sin ⁡ ( 2 𝑥 ) + 𝑐 2 cos ⁡ ( 2 𝑥 ) y(x)=c 1 sin(2x)+c 2 cos(2x) seja a solução geral de certa equação dife

Question

Suponha que a função ? ( ? ) = ? 1 sin ⁡ ( 2 ? ) + ? 2 cos ⁡ ( 2 ? ) y(x)=c 1 ​ sin(2x)+c 2 ​ cos(2x) seja a solução geral de certa equação diferencial ordinária, a qual compõe um problema de valor inicial cujas condições apresentadas são: ? ( 0 ) = 1 y(0)=1 ? ′ ( 0 ) = 3 y ′ (0)=3 Nesse sentido, quais devem ser os valores assumidos pelas constantes ? 1 c 1 ​ e ? 2 c 2 ​ para que ? ( ? ) y(x) seja a solução para o problema de valor inicial em estudo? A. ○ ? 1 = 1 / 2 c 1 ​ =1/2 e ? 2 = 1 / 2 c 2 ​ =1/2 B. ○ ? 1 = 3 / 2 c 1 ​ =3/2 e ? 2 = 1 c 2 ​ =1 C. ○ ? 1 = 3 c 1 ​ =3 e ? 2 = 1 c 2 ​ =1 D. ○ ? 1 = 1 / 2 c 1 ​ =1/2 e ? 2 = 3 / 2 c 2 ​ =3/2 E. ○ ? 1 = 1 / 2 c 1 ​ =1/2 e ? 2 = 1 c 2 ​ =1

Ed · Answer

Para resolver o problema de valor inicial dado, precisamos encontrar os valores das constantes $ c_1 $ e $ c_2 $ que satisfazem as condições $ y(0) = 1 $ e $ y'(0) = 3 $.

1. **Substituindo na condição $ y(0) = 1 $**:
   $$
   y(0) = c_1 \sin(0) + c_2 \cos(0) = c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 1 = c_2
   $$
   Portanto, temos que $ c_2 = 1 $.

2. **Calculando a derivada $ y'(x) $**:
   $$
   y'(x) = c_1 \cdot 2 \cos(2x) - c_2 \cdot 2 \sin(2x)
   $$
   Substituindo $ x = 0 $:
   $$
   y'(0) = c_1 \cdot 2 \cos(0) - c_2 \cdot 2 \sin(0) = c_1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot 0 = 2c_1
   $$
   Portanto, temos que $ 2c_1 = 3 $, o que implica que $ c_1 = \frac{3}{2} $.

Agora, temos os valores:
- $ c_1 = \frac{3}{2} $
- $ c_2 = 1 $

Analisando as alternativas:
A. $ c_1 = \frac{1}{2} $ e $ c_2 = \frac{1}{2} $ - Incorreto.
B. $ c_1 = \frac{3}{2} $ e $ c_2 = 1 $ - Correto.
C. $ c_1 = 3 $ e $ c_2 = 1 $ - Incorreto.
D. $ c_1 = \frac{1}{2} $ e $ c_2 = \frac{3}{2} $ - Incorreto.
E. $ c_1 = \frac{1}{2} $ e $ c_2 = 1 $ - Incorreto.

Portanto, a alternativa correta é: **B. $ c_1 = \frac{3}{2} $ e $ c_2 = 1 $**.

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