Para calcular o volume da região \( E \) contida dentro do cilindro \( x^2 + y^2 = 16 \) e entre os planos \( z = -5 \) e \( z = 4 \), podemos usar coordenadas cilíndricas. 1. Identificação das coordenadas cilíndricas: - As coordenadas cilíndricas são dadas por: - \( x = r \cos \theta \) - \( y = r \sin \theta \) - \( z = z \) - O cilindro \( x^2 + y^2 = 16 \) se torna \( r^2 = 16 \), ou seja, \( r = 4 \). 2. Limites de integração: - Para \( r \): de \( 0 \) a \( 4 \). - Para \( \theta \): de \( 0 \) a \( 2\pi \). - Para \( z \): de \( -5 \) a \( 4 \). 3. Volume em coordenadas cilíndricas: - O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é \( dV = r \, dr \, d\theta \, dz \). 4. Montando a integral: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^4 \int_{-5}^{4} r \, dz \, dr \, d\theta \] 5. Resolvendo a integral: - Primeiro, integramos em relação a \( z \): \[ \int_{-5}^{4} dz = 4 - (-5) = 9 \] - Agora, a integral se torna: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^4 9r \, dr \, d\theta \] - Integrando em relação a \( r \): \[ \int_0^4 9r \, dr = 9 \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^4 = 9 \cdot \frac{16}{2} = 72 \] - Agora, integramos em relação a \( \theta \): \[ V = \int_0^{2\pi} 72 \, d\theta = 72 \cdot 2\pi = 144\pi \] Portanto, o volume da região \( E \) é \( 144\pi \).