Para resolver a equação diferencial \( s'' - 6s' + 9s = 0 \), primeiro precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada. A equação característica é dada por: \[ r^2 - 6r + 9 = 0 \] Fatorando, obtemos: \[ (r - 3)^2 = 0 \] Isso nos dá uma raiz dupla \( r = 3 \). Portanto, a solução geral da equação diferencial é: \[ s(x) = (C_1 + C_2 x)e^{3x} \] onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais. Agora, aplicamos as condições iniciais: 1. \( s(0) = 2 \): \[ s(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{0} = C_1 = 2 \] 2. Para \( s'(x) \), precisamos calcular a derivada: \[ s'(x) = (C_1 + C_2 x)' e^{3x} + (C_1 + C_2 x)(e^{3x})' = (C_2)e^{3x} + (C_1 + C_2 x)(3e^{3x}) \] \[ s'(x) = C_2 e^{3x} + 3(C_1 + C_2 x)e^{3x} = (C_2 + 3C_1 + 3C_2 x)e^{3x} \] Agora, aplicamos a segunda condição inicial \( s'(0) = 8 \): \[ s'(0) = (C_2 + 3C_1)e^{0} = C_2 + 3 \cdot 2 = C_2 + 6 = 8 \] Portanto, \( C_2 = 2 \). Assim, a solução particular é: \[ s(x) = (2 + 2x)e^{3x} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( 2e^{3x}(1 + x) \) - Esta é a forma correta da solução. B) \( 4e^{3x} - 2 \) - Não é a solução correta. C) \( 2\cos(3x) + 2\sen(3x) \) - Não é a solução correta. D) \( 2e^{3x} + 2e^{x} \) - Não é a solução correta. E) \( xe^{3x}(2 + x) \) - Não é a solução correta. Portanto, a alternativa correta é a) \( 2e^{3x}(1 + x) \).