Para resolver a equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \), sabemos que as soluções gerais são combinações lineares das funções \( \cos(2x) \) e \( \sin(2x) \). Assim, a solução geral pode ser escrita como: \[ y(x) = A \cos(2x) + B \sin(2x) \] onde \( A \) e \( B \) são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais. Dadas as condições iniciais \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 4 \): 1. Aplicando a condição \( y(0) = 1 \): \[ y(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A \cdot 1 + B \cdot 0 = A \] Portanto, \( A = 1 \). 2. Calculando a derivada \( y' \): \[ y' = -2A \sin(2x) + 2B \cos(2x) \] Agora, aplicando a condição \( y'(0) = 4 \): \[ y'(0) = -2A \sin(0) + 2B \cos(0) = -2 \cdot 1 \cdot 0 + 2B \cdot 1 = 2B \] Portanto, \( 2B = 4 \) implica que \( B = 2 \). Assim, a solução que atende às condições iniciais é: \[ y(x) = \cos(2x) + 2\sin(2x) \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( \cos(2x) + 2\sin(2x) \) - Esta é a solução correta. B) \( \cos(x) - 2\sin(2x) \) - Não é a solução correta. C) \( -\cos(2x) + 3\sin(2x) \) - Não é a solução correta. D) Não foi fornecida uma expressão clara. E) \( \cos(2x) + 2\sin(x) \) - Não é a solução correta. Portanto, a alternativa correta é a A: \( \cos(2x) + 2\sin(2x) \).