Para resolver a equação diferencial dada \( y'' + 4y = 10e^x \), precisamos encontrar a solução geral, que consiste na soma da solução da equação homogênea e da solução particular. 1. Solução da equação homogênea: A equação homogênea associada é \( y'' + 4y = 0 \). A equação característica é \( r^2 + 4 = 0 \), que tem raízes complexas \( r = \pm 2i \). Portanto, a solução geral da homogênea é: \[ y_h = A \cos(2x) + B \sen(2x) \] 2. Solução particular: Para a parte não homogênea \( 10e^x \), podemos tentar uma solução particular da forma \( y_p = Ce^x \). Substituindo na equação, encontramos o valor de \( C \). Após resolver, a solução geral da equação diferencial será: \[ y = A \cos(2x) + B \sen(2x) + 2e^x \] Analisando as alternativas: - a) \( y = A \cos(2x) + B \sen(2x) + 2e^x \) - Correta. - b) \( y = A e^x \cos(2x) + B e^x \sen(2x) + 2e^x \) - Incorreta. - c) \( y = A e^x + B x e^{2x} + 2 \cos(2x) \) - Incorreta. - d) \( y = A \cos(2x) + B \sen(2x) + x^2 \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \( y = A \cos(2x) + B \sen(2x) + 2e^x \).