Para resolver a integral \(\int \frac{x^2 + 4x + 1}{(x - 1)(x + 1)(x + 3)} \, dx\) utilizando a decomposição em frações parciais, siga os passos abaixo: 1. Decomposição em frações parciais: Vamos expressar a função como: \[ \frac{x^2 + 4x + 1}{(x - 1)(x + 1)(x + 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 3} \] onde \(A\), \(B\) e \(C\) são constantes a serem determinadas. 2. Multiplicando ambos os lados pela parte denominadora: \[ x^2 + 4x + 1 = A(x + 1)(x + 3) + B(x - 1)(x + 3) + C(x - 1)(x + 1) \] 3. Expandindo e coletando termos: Expanda o lado direito e iguale os coeficientes dos termos de \(x\) para encontrar \(A\), \(B\) e \(C\). 4. Resolvendo o sistema: Após expandir, você terá um sistema de equações que pode ser resolvido para encontrar os valores de \(A\), \(B\) e \(C\). 5. Substituindo os valores encontrados: Substitua \(A\), \(B\) e \(C\) de volta na expressão de frações parciais. 6. Integrando cada fração: Agora, você pode integrar cada termo separadamente: \[ \int \frac{A}{x - 1} \, dx + \int \frac{B}{x + 1} \, dx + \int \frac{C}{x + 3} \, dx \] 7. Resultado final: A integral resultante será a soma das integrais individuais, que podem ser resolvidas usando a regra do logaritmo natural. Se precisar de ajuda com algum passo específico, é só avisar!