Para resolver a integral \(\int_0^\pi x \sen(x) \, dx\) usando a técnica de integração por partes, vamos definir: - \(u = x\) \(\Rightarrow du = dx\) - \(dv = \sen(x) \, dx\) \(\Rightarrow v = -\cos(x)\) Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo os valores: \[ \int x \sen(x) \, dx = -x \cos(x) \bigg|_0^\pi + \int \cos(x) \, dx \] Calculando a primeira parte: \[ -x \cos(x) \bigg|_0^\pi = -\pi \cos(\pi) - (-0 \cos(0)) = -\pi(-1) - 0 = \pi \] Agora, calculamos a integral \(\int \cos(x) \, dx\): \[ \int \cos(x) \, dx = \sen(x) \bigg|_0^\pi = \sen(\pi) - \sen(0) = 0 - 0 = 0 \] Portanto, juntando tudo: \[ \int_0^\pi x \sen(x) \, dx = \pi + 0 = \pi \] Assim, o valor correto da integral é \(\pi\). Se houver alternativas, a correta será a que apresenta \(\pi\).