Para calcular o trabalho do campo vetorial \( \mathbf{f}(x, y, z) = (yz e^{xyz}, xz e^{xyz}, xy e^{xyz}) \) ao longo da curva \( \mathbf{g}(t) = (5\cos(t), 5\sin(t), t^2) \) para \( t \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{4}] \), precisamos usar a integral de linha. O trabalho \( W \) é dado por: \[ W = \int_C \mathbf{f} \cdot d\mathbf{r} \] onde \( d\mathbf{r} = \frac{d\mathbf{g}}{dt} dt \). 1. Calcule \( d\mathbf{g}/dt \): \[ \frac{d\mathbf{g}}{dt} = \left(-5\sin(t), 5\cos(t), 2t\right) \] 2. Substitua \( \mathbf{g}(t) \) na função \( \mathbf{f} \): \[ x = 5\cos(t), \quad y = 5\sin(t), \quad z = t^2 \] Então, \[ \mathbf{f}(\mathbf{g}(t)) = \left(5\sin(t) \cdot t^2 e^{5\cos(t) \cdot 5\sin(t) \cdot t^2}, 5\cos(t) \cdot t^2 e^{5\cos(t) \cdot 5\sin(t) \cdot t^2}, 5\cos(t) \cdot 5\sin(t) e^{5\cos(t) \cdot 5\sin(t) \cdot t^2}\right) \] 3. Calcule o produto escalar \( \mathbf{f}(\mathbf{g}(t)) \cdot \frac{d\mathbf{g}}{dt} \). 4. Integre de \( t = 0 \) a \( t = \frac{\pi}{4} \): \[ W = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathbf{f}(\mathbf{g}(t)) \cdot \frac{d\mathbf{g}}{dt} \, dt \] Esse cálculo pode ser complexo e pode exigir simplificações ou o uso de software para resolver a integral. O resultado final será o trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo do caminho dado.