Vamos analisar o problema do comprimento de arco da parábola semicúbica \( y^2 = x^3 \) entre os pontos \((1,1)\) e \((4,8)\). Para calcular o comprimento de arco \(L\), usamos a fórmula: \[ L = \int_{x=1}^{4} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \] Dado \( y^2 = x^3 \), podemos escrever \( y = x^{3/2} \) (considerando \(y > 0\)). Derivando: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} x^{1/2} \] Calculando o integrando: \[ 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 + \left(\frac{3}{2} x^{1/2}\right)^2 = 1 + \frac{9}{4} x = \frac{4 + 9x}{4} \] Então: \[ L = \int_1^4 \sqrt{\frac{4 + 9x}{4}} \, dx = \frac{1}{2} \int_1^4 \sqrt{4 + 9x} \, dx \] Fazendo a substituição \( u = 4 + 9x \), \( du = 9 dx \), \( dx = \frac{du}{9} \). Quando \( x=1 \), \( u=13 \); quando \( x=4 \), \( u=40 \). Assim: \[ L = \frac{1}{2} \int_{u=13}^{40} \sqrt{u} \cdot \frac{du}{9} = \frac{1}{18} \int_{13}^{40} u^{1/2} du = \frac{1}{18} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{13}^{40} = \frac{1}{27} \left(40^{3/2} - 13^{3/2}\right) \] Note que \( 40^{3/2} = 40 \sqrt{40} \) e \( 13^{3/2} = 13 \sqrt{13} \). Portanto: \[ L = \frac{1}{27} \left(40 \sqrt{40} - 13 \sqrt{13}\right) \] Analisando as alternativas, a que corresponde a essa expressão é a alternativa B. Resposta correta: alternativa B.