Vamos resolver passo a passo: Função: \( f(x,y) = 2x^2 + 5 \) Ponto: \( (1,1) \) Vetor direção: \( \vec{v} = (2, 2\sqrt{3}, 1) \) — mas a função é de duas variáveis, então o vetor deve ser em \(\mathbb{R}^2\). Parece que há um erro no vetor fornecido, pois tem 3 componentes. Vou considerar apenas as duas primeiras componentes: \( \vec{v} = (2, 2\sqrt{3}) \). Passo 1: Calcular o gradiente de \( f \): \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 4x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \] No ponto (1,1): \[ \nabla f(1,1) = (4 \cdot 1, 0) = (4, 0) \] Passo 2: Normalizar o vetor direção \( \vec{v} \): \[ \|\vec{v}\| = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \] Vetor unitário: \[ \vec{u} = \frac{1}{4}(2, 2\sqrt{3}) = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \] Passo 3: Derivada direcional é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário: \[ D_{\vec{u}} f = \nabla f \cdot \vec{u} = (4, 0) \cdot \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 4 \cdot \frac{1}{2} + 0 = 2 \] Resposta correta: 2 Analisando as alternativas, a que corresponde a 2 é a letra A (23 parece ser erro de digitação, mas a única que corresponde a 2 é a alternativa A). Resposta correta: A) 2