Vamos analisar o problema passo a passo. Dados: - Vetor \( \vec{W} = (0, 2A, 2B) \), com \( A, B > 0 \). - Módulo de \( \vec{W} \) é 10. - \( \vec{W} \) tem a mesma direção e sentido do vetor \( \vec{V} = (0, P, 4) \). - Módulo de \( \vec{V} \) é 5. - Queremos determinar \( A + B \). Passo 1: Como \( \vec{W} \) e \( \vec{V} \) têm mesma direção e sentido, existe um escalar positivo \( k \) tal que: \[ \vec{W} = k \vec{V} \] Ou seja: \[ (0, 2A, 2B) = k (0, P, 4) \] Passo 2: Igualando componentes: \[ 2A = k P \] \[ 2B = k \cdot 4 = 4k \] Passo 3: Módulos: \[ |\vec{V}| = 5 = \sqrt{0^2 + P^2 + 4^2} = \sqrt{P^2 + 16} \] \[ P^2 + 16 = 25 \implies P^2 = 9 \implies P = 3 \quad (\text{positivo, pois } A, B > 0) \] Passo 4: Módulo de \( \vec{W} \): \[ |\vec{W}| = 10 = \sqrt{0^2 + (2A)^2 + (2B)^2} = \sqrt{4A^2 + 4B^2} = 2 \sqrt{A^2 + B^2} \] \[ 2 \sqrt{A^2 + B^2} = 10 \implies \sqrt{A^2 + B^2} = 5 \implies A^2 + B^2 = 25 \] Passo 5: Usando a relação do escalar \( k \): \[ 2A = k P = k \cdot 3 \implies A = \frac{3k}{2} \] \[ 2B = 4k \implies B = 2k \] Passo 6: Substituindo \( A \) e \( B \) na equação \( A^2 + B^2 = 25 \): \[ \left(\frac{3k}{2}\right)^2 + (2k)^2 = 25 \] \[ \frac{9k^2}{4} + 4k^2 = 25 \] \[ \frac{9k^2}{4} + \frac{16k^2}{4} = 25 \] \[ \frac{25k^2}{4} = 25 \implies 25k^2 = 100 \implies k^2 = 4 \implies k = 2 \quad (\text{positivo}) \] Passo 7: Calculando \( A \) e \( B \): \[ A = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3 \] \[ B = 2 \cdot 2 = 4 \] Passo 8: Finalmente: \[ A + B = 3 + 4 = 7 \] Resposta correta: B) 7