Vamos analisar o problema passo a passo: Campo vetorial: F(x,y,z) = (2z, y, 3x) Curva C: limite do paraboloide z = 9 - x² - y² e o plano z = 0, orientado para baixo. Queremos calcular a integral de linha de F ao longo de C, usando o Teorema de Stokes. Passos: 1. O Teorema de Stokes diz que a integral de linha de F ao longo de C é igual à integral de superfície da componente normal do rotacional de F sobre a superfície limitada por C. 2. Calcular o rotacional de F: rot F = ∇ × F = | i j k | | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z | | 2z y 3x | Calculando: - Componente i: ∂/∂y (3x) - ∂/∂z (y) = 0 - 0 = 0 - Componente j: ∂/∂z (2z) - ∂/∂x (3x) = 2 - 3 = -1 - Componente k: ∂/∂x (y) - ∂/∂y (2z) = 0 - 0 = 0 Logo, rot F = (0, -1, 0). 3. A superfície S é o paraboloide z = 9 - x² - y², com orientação para baixo. A orientação para baixo significa que o vetor normal aponta para baixo, ou seja, o vetor normal tem componente z negativa. 4. A integral de superfície será: ∬_S (rot F) · n dS Como rot F = (0, -1, 0), só a componente y importa. 5. O vetor normal à superfície z = 9 - x² - y² é dado por: n = (-∂z/∂x, -∂z/∂y, 1) ∂z/∂x = -2x ∂z/∂y = -2y Então, n = (2x, 2y, 1) Mas a orientação para baixo inverte o sinal: n_down = -n = (-2x, -2y, -1) 6. O produto escalar (rot F) · n_down = (0, -1, 0) · (-2x, -2y, -1) = (-1)*(-2y) = 2y 7. A integral de superfície fica: ∬_S 2y dS 8. Para facilitar, projetamos a superfície na região D no plano xy, que é o círculo x² + y² ≤ 9. A área elementar dS = sqrt((∂z/∂x)² + (∂z/∂y)² + 1) dx dy = sqrt(( -2x )² + ( -2y )² + 1) = sqrt(4x² + 4y² + 1) 9. A integral fica: ∬_D 2y * sqrt(4x² + 4y² + 1) dx dy 10. Note que a função 2y * sqrt(...) é ímpar em y (pois 2y é ímpar em y), e a região D é simétrica em relação ao eixo x (círculo centrado na origem). Logo, a integral sobre D será zero. Conclusão: a integral de linha é 0. Portanto, a alternativa correta é: D. Somente a opção IV está correta (IV) 0. Resposta: D.