Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável Calcule a reta normal à função y = x² + 2x no ponto X₀=1

Vamos resolver passo a passo: 1. Função dada: \( y = x^2 + 2x \) 2. Ponto dado: \( x_0 = 1 \) 3. Calcular o valor de \( y \) no ponto \( x_0 \): \[ y(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3 \] Então, o ponto é \( (1, 3) \). 4. Calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x) = 2x + 2 \] 5. Calcular a inclinação da reta tangente no ponto \( x_0 = 1 \): \[ m_{\text{tangente}} = y'(1) = 2 \cdot 1 + 2 = 4 \] 6. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente: \[ m_{\text{normal}} = -\frac{1}{m_{\text{tangente}}} = -\frac{1}{4} \] 7. Usar a fórmula da reta no ponto \( (x_0, y_0) \) com inclinação \( m \): \[ y - y_0 = m (x - x_0) \] \[ y - 3 = -\frac{1}{4} (x - 1) \] 8. Simplificando: \[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4} + 3 = -\frac{1}{4}x + \frac{13}{4} \] Resposta final: A equação da reta normal à função \( y = x^2 + 2x \) no ponto \( x_0 = 1 \) é: \[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{13}{4} \]