Vamos resolver passo a passo o cálculo da área entre as curvas dadas: Funções: - \( y = \frac{1}{7} \) - \( y = 2 \) - \( y = \frac{z}{4} \) com \( z > 0 \) Passo 1: Entender o problema Queremos calcular a área delimitada entre essas curvas. Como \( y = \frac{z}{4} \) é uma função de \( z \), vamos assumir que \( z \) é a variável independente (equivalente a \( x \)). As curvas horizontais são \( y = \frac{1}{7} \) e \( y = 2 \), e a curva inclinada é \( y = \frac{z}{4} \). Passo 2: Encontrar os pontos de interseção - Interseção entre \( y = \frac{z}{4} \) e \( y = \frac{1}{7} \): \[ \frac{z}{4} = \frac{1}{7} \implies z = \frac{4}{7} \] - Interseção entre \( y = \frac{z}{4} \) e \( y = 2 \): \[ \frac{z}{4} = 2 \implies z = 8 \] Passo 3: Definir o intervalo de integração O intervalo para \( z \) é de \( \frac{4}{7} \) até \( 8 \). Passo 4: Determinar qual função está acima e qual está abaixo No intervalo \( z \in \left[\frac{4}{7}, 8\right] \): - \( y = 2 \) é constante e maior que \( y = \frac{z}{4} \) (pois \( \frac{z}{4} \leq 2 \)) - \( y = \frac{z}{4} \) é maior que \( y = \frac{1}{7} \) (pois \( z \geq \frac{4}{7} \)) Passo 5: Calcular a área A área entre as curvas pode ser dividida em duas partes: 1. Área entre \( y = \frac{1}{7} \) e \( y = \frac{z}{4} \) de \( z=0 \) até \( z = \frac{4}{7} \) (pois para \( z < \frac{4}{7} \), \( y = \frac{1}{7} \) está acima de \( y = \frac{z}{4} \)) 2. Área entre \( y = \frac{z}{4} \) e \( y = 2 \) de \( z = \frac{4}{7} \) até \( z = 8 \) Área 1: \[ A_1 = \int_0^{\frac{4}{7}} \left( \frac{1}{7} - \frac{z}{4} \right) dz \] \[ A_1 = \left[ \frac{z}{7} - \frac{z^2}{8} \right]_0^{\frac{4}{7}} = \frac{4}{7 \cdot 7} - \frac{(4/7)^2}{8} = \frac{4}{49} - \frac{16/49}{8} = \frac{4}{49} - \frac{16}{392} = \frac{4}{49} - \frac{4}{98} = \frac{8}{98} - \frac{4}{98} = \frac{4}{98} = \frac{2}{49} \] Área 2: \[ A_2 = \int_{\frac{4}{7}}^{8} \left( 2 - \frac{z}{4} \right) dz \] \[ A_2 = \left[ 2z - \frac{z^2}{8} \right]_{\frac{4}{7}}^{8} = \left( 2 \cdot 8 - \frac{64}{8} \right) - \left( 2 \cdot \frac{4}{7} - \frac{(4/7)^2}{8} \right) = (16 - 8) - \left( \frac{8}{7} - \frac{16/49}{8} \right) \] \[ = 8 - \left( \frac{8}{7} - \frac{16}{392} \right) = 8 - \left( \frac{8}{7} - \frac{4}{98} \right) = 8 - \left( \frac{8}{7} - \frac{2}{49} \right) \] \[ = 8 - \left( \frac{56}{49} - \frac{2}{49} \right) = 8 - \frac{54}{49} = \frac{392}{49} - \frac{54}{49} = \frac{338}{49} \] Passo 6: Somar as áreas \[ A = A_1 + A_2 = \frac{2}{49} + \frac{338}{49} = \frac{340}{49} \approx 6,94 \] Resposta final: A área delimitada entre as curvas é \(\boxed{\frac{340}{49}}\), aproximadamente 6,94 unidades de área.