O Teorema de Green estabelece que, para uma curva fechada simples e orientada positivamente que delimita uma região plana \(D\), a integral de linha do campo vetorial \(\mathbf{F} = (P, Q)\) ao longo da curva \(\partial D\) é igual à integral dupla sobre a região \(D\) da diferença das derivadas parciais: \[ \oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA \] Passo a passo: 1. Curva fechada e região: A curva \(\partial D\) deve ser fechada e simples, delimitando a região \(D\) no plano. 2. Campo vetorial: \(P(x,y)\) e \(Q(x,y)\) são funções com derivadas parciais contínuas em \(D\). 3. Integral de linha: Calcula-se a circulação do campo ao longo da curva \(\partial D\). 4. Integral dupla: Calcula-se a integral da diferença das derivadas parciais sobre a área \(D\). 5. Interpretação: O teorema transforma uma integral de linha em uma integral de área, facilitando cálculos e análises em campos vetoriais. Assim, o Teorema de Green é fundamental para conectar propriedades locais (derivadas) com propriedades globais (integral ao redor da curva).