Vamos resolver passo a passo o vetor gradiente da função \( f(x,y) = y \sen(xy) \) no ponto \( P(1, \pi) \). 1. Definição do vetor gradiente: \[ \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] 2. Calcular \(\frac{\partial f}{\partial x}\): \[ f(x,y) = y \sen(xy) \] Usando a regra do produto e a regra da cadeia: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = y \cdot \cos(xy) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy) = y \cdot \cos(xy) \cdot y = y^2 \cos(xy) \] 3. Calcular \(\frac{\partial f}{\partial y}\): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \sen(xy) + y \cdot \cos(xy) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(xy) = \sen(xy) + y \cdot \cos(xy) \cdot x = \sen(xy) + xy \cos(xy) \] 4. Avaliar no ponto \( P(1, \pi) \): - Calcular \( xy = 1 \times \pi = \pi \) - \(\cos(\pi) = -1\) - \(\sen(\pi) = 0\) Logo, \[ \frac{\partial f}{\partial x}(1, \pi) = (\pi)^2 \times (-1) = -\pi^2 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y}(1, \pi) = 0 + 1 \times \pi \times (-1) = -\pi \] 5. Vetor gradiente no ponto \( P(1, \pi) \): \[ \nabla f(1, \pi) = (-\pi^2, -\pi) \] --- Resposta final: O vetor gradiente da função \( f(x,y) = y \sen(xy) \) no ponto \( (1, \pi) \) é \[ \boxed{ \nabla f(1, \pi) = (-\pi^2, -\pi) } \]