Vamos resolver passo a passo o volume do sólido limitado pelo paraboloide \( z = 4 - x^2 - y^2 \) e pelo plano \( z = 0 \) (plano XY). 1. Entender a região: O sólido está entre o paraboloide e o plano XY. O paraboloide é uma "tigela" invertida com vértice em \( z=4 \) e base no plano \( z=0 \). 2. Encontrar a projeção no plano XY: No plano \( z=0 \), temos: \[ 0 = 4 - x^2 - y^2 \implies x^2 + y^2 = 4 \] Logo, a projeção da região no plano XY é o círculo de raio 2 centrado na origem. 3. Configurar a integral para o volume: O volume \( V \) é dado por: \[ V = \iint_{D} (4 - x^2 - y^2) \, dA \] onde \( D = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \leq 4 \} \). 4. Usar coordenadas polares: Como a região é circular, é mais fácil usar coordenadas polares: \[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad dA = r \, dr \, d\theta \] com \( r \in [0,2] \) e \( \theta \in [0, 2\pi] \). 5. Integral em coordenadas polares: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2) \, r \, dr \, d\theta \] 6. Calcular a integral interna: \[ \int_0^2 (4r - r^3) \, dr = \left[ 2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \left( 2 \times 4 - \frac{16}{4} \right) = 8 - 4 = 4 \] 7. Calcular a integral externa: \[ \int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 \times 2\pi = 8\pi \] Resposta final: \[ \boxed{V = 8\pi} \] O volume do sólido é \( 8\pi \) unidades cúbicas.