Vamos calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies: \[ z = 2x^2 + y^2 \] e \[ z = 4 - 2x^2 - y^2. \] Passo 1: Encontrar a região de interseção no plano xy Igualamos as duas superfícies para encontrar a curva de interseção: \[ 2x^2 + y^2 = 4 - 2x^2 - y^2 \] \[ 2x^2 + y^2 + 2x^2 + y^2 = 4 \] \[ 4x^2 + 2y^2 = 4 \] Dividindo tudo por 4: \[ x^2 + \frac{y^2}{2} = 1 \] Essa é a equação da elipse que delimita a região no plano xy. Passo 2: Expressar o volume como integral dupla O volume \(V\) é dado por: \[ V = \iint_{D} \left[ (4 - 2x^2 - y^2) - (2x^2 + y^2) \right] \, dA \] \[ V = \iint_{D} \left(4 - 2x^2 - y^2 - 2x^2 - y^2 \right) dA = \iint_{D} (4 - 4x^2 - 2y^2) \, dA \] onde \(D\) é a região dentro da elipse \(x^2 + \frac{y^2}{2} \leq 1\). Passo 3: Transformar a região elíptica em uma região circular Fazemos a mudança de variáveis para transformar a elipse em círculo: \[ u = x, \quad v = \frac{y}{\sqrt{2}} \implies y = v \sqrt{2} \] Assim, a região \(D\) em \((u,v)\) é: \[ u^2 + v^2 \leq 1 \] O jacobiano da transformação é: \[ J = \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| = \left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{matrix} \right| = \sqrt{2} \] Passo 4: Reescrever a integral em \((u,v)\) Substituindo \(x = u\), \(y = v \sqrt{2}\): \[ 4 - 4x^2 - 2y^2 = 4 - 4u^2 - 2 (2 v^2) = 4 - 4u^2 - 4 v^2 = 4(1 - u^2 - v^2) \] O volume fica: \[ V = \iint_{u^2 + v^2 \leq 1} 4(1 - u^2 - v^2) \cdot J \, du dv = \sqrt{2} \iint_{u^2 + v^2 \leq 1} 4(1 - u^2 - v^2) \, du dv \] Passo 5: Usar coordenadas polares Em coordenadas polares: \[ u = r \cos \theta, \quad v = r \sin \theta, \quad r \in [0,1], \quad \theta \in [0, 2\pi] \] \[ du dv = r dr d\theta \] A integral fica: \[ V = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_0^1 4 (1 - r^2) r \, dr d\theta = 4 \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_0^1 r (1 - r^2) dr d\theta \] Passo 6: Calcular a integral interna \[ \int_0^1 r (1 - r^2) dr = \int_0^1 (r - r^3) dr = \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \] Passo 7: Calcular a integral externa \[ \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \] Passo 8: Calcular o volume \[ V = 4 \sqrt{2} \times 2\pi \times \frac{1}{4} = 4 \sqrt{2} \times \frac{2\pi}{4} = 4 \sqrt{2} \times \frac{\pi}{2} = 2 \pi \sqrt{2} \] Resposta final: \[ \boxed{V = 2 \pi \sqrt{2}} \] O volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas é \(2 \pi \sqrt{2}\).