Vamos resolver a integral dupla \[ \iint_D e^{-(x^2 + y^2)} \, dA \] onde \(D\) é a região dentro da circunferência \(x^2 + y^2 = 1\). Passo 1: Trocar para coordenadas polares Como a região é um círculo de raio 1, é mais fácil usar coordenadas polares: \[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta \] com \(r \in [0,1]\) e \(\theta \in [0, 2\pi]\). O elemento de área em coordenadas polares é: \[ dA = r \, dr \, d\theta \] Passo 2: Reescrever a integral \[ \iint_D e^{-(x^2 + y^2)} dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 e^{-r^2} r \, dr \, d\theta \] Passo 3: Calcular a integral interna \[ \int_0^1 e^{-r^2} r \, dr \] Fazendo a substituição \(u = -r^2 \Rightarrow du = -2r dr \Rightarrow -\frac{1}{2} du = r dr\): \[ \int_0^1 e^{-r^2} r \, dr = -\frac{1}{2} \int_{u=0}^{u=-1} e^{u} du = -\frac{1}{2} [e^{u}]_0^{-1} = -\frac{1}{2} (e^{-1} - 1) = \frac{1 - e^{-1}}{2} \] Passo 4: Calcular a integral externa \[ \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \] Passo 5: Multiplicar os resultados \[ \iint_D e^{-(x^2 + y^2)} dA = 2\pi \times \frac{1 - e^{-1}}{2} = \pi (1 - e^{-1}) \] Resposta final: \[ \boxed{\pi \left(1 - e^{-1}\right)} \]