Vamos analisar o problema passo a passo. Sabemos que um número natural \( n \) tem exatamente 15 divisores positivos. 1. Número de divisores: Se \( n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k} \), o número de divisores é: \[ d(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1) = 15 \] Como 15 = 3 × 5, as possibilidades para os expoentes são: - \( n = p^{14} \) (pois 14 + 1 = 15) - \( n = p^2 q^4 \) (pois (2+1)(4+1) = 3 × 5 = 15) - \( n = p^4 q^2 \) (idem) 2. Produto dos divisores de \( n^2 \): O produto dos divisores de um número \( m \) com \( d \) divisores é \( m^{d/2} \). Aqui, \( m = n^2 \). O número de divisores de \( n^2 \) é: Se \( n \) tem divisores \( d(n) = 15 \), então \( n^2 \) tem: \[ d(n^2) = (2a_1 + 1)(2a_2 + 1) \cdots \] No caso de \( n = p^{14} \), \( d(n^2) = 2 \times 14 + 1 = 29 \) divisores (impar). No caso de \( n = p^2 q^4 \), \( d(n^2) = (2 \times 2 + 1)(2 \times 4 + 1) = 5 \times 9 = 45 \) divisores. No caso de \( n = p^4 q^2 \), \( d(n^2) = (2 \times 4 + 1)(2 \times 2 + 1) = 9 \times 5 = 45 \) divisores. 3. Analisando as afirmações: - I. \( n \) é múltiplo de 3. Não necessariamente. \( n \) pode ser formado por quaisquer primos, não obrigatoriamente 3. Portanto, I é falsa. - II. \( n^2 \) apresenta o dígito das unidades igual a 1. Para que \( n^2 \) termine em 1, \( n \) deve terminar em 1 ou 9 (em base decimal). Não há informação suficiente para garantir isso. Portanto, II é falsa. - III. \( 3n \) apresenta exatamente 9 divisores inteiros positivos. Vamos analisar: Se \( n = p^2 q^4 \), \( d(n) = 15 \). Multiplicando por 3, se 3 é um primo diferente de \( p \) e \( q \), então: \[ d(3n) = d(3^1 p^2 q^4) = (1+1)(2+1)(4+1) = 2 \times 3 \times 5 = 30 \neq 9 \] Se 3 é um dos primos \( p \) ou \( q \), por exemplo \( n = 3^2 q^4 \), então: \[ 3n = 3^{3} q^{4} \implies d(3n) = (3+1)(4+1) = 4 \times 5 = 20 \neq 9 \] Se \( n = p^{14} \), e \( p \neq 3 \), então: \[ d(3n) = d(3^1 p^{14}) = (1+1)(14+1) = 2 \times 15 = 30 \neq 9 \] Se \( n = 3^{14} \), então: \[ 3n = 3^{15} \implies d(3n) = 15 + 1 = 16 \neq 9 \] Portanto, III é falsa. Conclusão: Nenhuma das afirmações é verdadeira. Resposta correta: a) nenhuma.