Vamos analisar o problema passo a passo. Temos a expressão: \[ (a x + \frac{a^2}{\sqrt{x}})^{15} \] Queremos os coeficientes dos termos: - de menor potência de \(x\), - do termo independente (potência zero de \(x\)), - e do termo de maior potência de \(x\). Esses coeficientes, nesta ordem, formam uma progressão geométrica (PG). --- Passo 1: Identificar os termos gerais da expansão O termo geral da expansão binomial é: \[ T_{k+1} = \binom{15}{k} (a x)^k \left(\frac{a^2}{\sqrt{x}}\right)^{15 - k} \] Simplificando a potência de \(x\): \[ x^k \cdot x^{-\frac{15 - k}{2}} = x^{k - \frac{15 - k}{2}} = x^{k - \frac{15}{2} + \frac{k}{2}} = x^{\frac{3k}{2} - \frac{15}{2}} \] --- Passo 2: Potência de \(x\) no termo geral \[ \text{expoente de } x = \frac{3k}{2} - \frac{15}{2} = \frac{3k - 15}{2} \] --- Passo 3: Encontrar o termo de menor potência de \(x\) Para \(k=0\): \[ \text{expoente} = \frac{3 \cdot 0 - 15}{2} = -\frac{15}{2} = -7,5 \] Para \(k=15\): \[ \text{expoente} = \frac{3 \cdot 15 - 15}{2} = \frac{45 - 15}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] Como o expoente cresce com \(k\), o termo de menor potência é para \(k=0\), e o termo de maior potência para \(k=15\). --- Passo 4: Encontrar o termo independente (expoente zero) Queremos \( \frac{3k - 15}{2} = 0 \Rightarrow 3k - 15 = 0 \Rightarrow k = 5 \). --- Passo 5: Coeficientes dos termos - Para \(k=0\): \[ C_1 = \binom{15}{0} a^0 \cdot a^{2 \cdot 15} = a^{30} \] - Para \(k=5\): \[ C_2 = \binom{15}{5} a^{5} \cdot a^{2 \cdot (15 - 5)} = \binom{15}{5} a^{5 + 20} = \binom{15}{5} a^{25} \] - Para \(k=15\): \[ C_3 = \binom{15}{15} a^{15} \cdot a^{2 \cdot 0} = a^{15} \] --- Passo 6: Condição de progressão geométrica Os coeficientes \(C_1, C_2, C_3\) formam uma PG, então: \[ C_2^2 = C_1 \cdot C_3 \] Substituindo: \[ \left(\binom{15}{5} a^{25}\right)^2 = a^{30} \cdot a^{15} \] \[ \binom{15}{5}^2 a^{50} = a^{45} \] Dividindo ambos os lados por \(a^{45}\) (lembrando que \(a \neq 0\)): \[ \binom{15}{5}^2 a^{5} = 1 \] Logo: \[ a^{5} = \frac{1}{\binom{15}{5}^2} \] --- Resposta: \[ \frac{1}{a^{5}} = \binom{15}{5}^2 \] --- Analisando as alternativas: A alternativa que corresponde a \(\binom{15}{5}^2\) é a letra a) \((15 \; 8)^2\) — mas atenção, o número do binomial está diferente. Sabemos que \(\binom{15}{5} = \binom{15}{10}\) (pois \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)). Então \(\binom{15}{5} = \binom{15}{10}\). Logo, \(\binom{15}{5}^2 = \binom{15}{10}^2\). A alternativa que apresenta \(\binom{15}{10}^2\) é a letra e). --- Resposta correta: e) \((15 \; 10)^2\)