Vamos analisar cada afirmativa da função \( f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R} \setminus \{-1\} \), dada por \( f(x) = \frac{1+x}{2 - x} \): I. f é sobrejetora? - O contradomínio é \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\). - Vamos verificar se para todo \(y \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}\) existe \(x\) tal que \(f(x) = y\). - Resolvendo \( y = \frac{1+x}{2 - x} \): \[ y(2 - x) = 1 + x \implies 2y - yx = 1 + x \implies 2y - 1 = x + yx = x(1 + y) \] \[ x = \frac{2y - 1}{1 + y} \] - Para \(y \neq -1\), o denominador \(1 + y \neq 0\), então \(x\) existe e está em \(\mathbb{R}\), exceto se \(x=2\) (que não pertence ao domínio). - Verificando se \(x=2\) para algum \(y\): \[ 2 = \frac{2y - 1}{1 + y} \implies 2(1 + y) = 2y - 1 \implies 2 + 2y = 2y - 1 \implies 2 = -1 \] Contradição, então \(x=2\) não é solução para nenhum \(y\). - Portanto, para todo \(y \neq -1\), existe \(x \neq 2\) tal que \(f(x) = y\). - Logo, f é sobrejetora. II. f é bijetora e sua inversa é \( f^{-1}(y) = \frac{2y - 1}{y + 1} \)? - Já vimos que para todo \(y \neq -1\), existe \(x\) tal que \(f(x) = y\), e a fórmula para \(x\) é exatamente essa. - Como \(f\) é injetora (veremos no item IV) e sobrejetora, é bijetora. - Portanto, a inversa dada está correta. III. f é decrescente para algum intervalo fechado de números reais? - Vamos analisar a derivada para verificar monotonicidade: \[ f(x) = \frac{1 + x}{2 - x} \] Derivando: \[ f'(x) = \frac{(1)(2 - x) - (1 + x)(-1)}{(2 - x)^2} = \frac{2 - x + 1 + x}{(2 - x)^2} = \frac{3}{(2 - x)^2} \] - Como o denominador é sempre positivo (quadrado), \(f'(x) = \frac{3}{(2 - x)^2} > 0\) para todo \(x \neq 2\). - Logo, \(f\) é estritamente crescente em todo seu domínio. - Portanto, f não é decrescente em nenhum intervalo. IV. f é estritamente crescente? - Conforme derivada acima, sim, \(f'(x) > 0\) para todo \(x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}\). - Logo, \(f\) é estritamente crescente. Conclusão: - Itens verdadeiros: I, II e IV. - Item III é falso. Alternativa correta: d) apenas I, II e IV.