Vamos resolver passo a passo. Palavra: CATARINA Letras: C, A, T, A, R, I, N, A (8 letras no total) Queremos formar senhas com todas as letras usadas, ou seja, permutações das 8 letras, que terminem por consoante. Passo 1: Identificar consoantes e vogais Consoantes: C, T, R, N (4 consoantes) Vogais: A, A, A, I (4 vogais, sendo 3 A's repetidos) Passo 2: Número total de permutações das 8 letras Como há repetição de 3 letras A, o total de permutações é: \[ \frac{8!}{3!} = \frac{40320}{6} = 6720 \] Passo 3: Queremos permutações que terminem em consoante As senhas têm 8 letras e terminam em uma consoante. Temos 4 consoantes possíveis para a última posição: C, T, R, N. Passo 4: Para cada consoante na última posição, permutamos as 7 letras restantes Quando fixamos uma consoante na última posição, restam 7 letras para permutar. Mas atenção: ao fixar uma consoante, as letras restantes são as 7 restantes, com as repetições de A ainda presentes (3 A's). Passo 5: Calcular permutações para cada consoante na última posição Número de permutações das 7 letras restantes (com 3 A's): \[ \frac{7!}{3!} = \frac{5040}{6} = 840 \] Passo 6: Como são 4 consoantes possíveis para a última posição, total de senhas é: \[ 4 \times 840 = 3360 \] Passo 7: Somar os algarismos de n = 3360 3 + 3 + 6 + 0 = 12 Resposta correta: b) 12