Determine o valor da integral , onde V é o sólido ∭V 3(x+y) dxdydz x contido na interseção do cilindro com as regiões 2 +y2 =1 e 0≤z≤2 x ≥0 e y≥0 .

Vamos resolver a integral tripla \(\iiint_V 3(x+y) \, dV\), onde \(V\) é o sólido definido pela interseção do cilindro \(x^2 + y^2 = 1\), com \(0 \leq z \leq 2\), e as restrições \(x \geq 0\) e \(y \geq 0\). Passo 1: Entender a região \(V\) - O cilindro \(x^2 + y^2 = 1\) é um cilindro circular de raio 1, estendido no eixo \(z\). - As restrições \(x \geq 0\) e \(y \geq 0\) limitam a região ao primeiro quadrante do plano \(xy\). - O intervalo para \(z\) é de 0 a 2. Passo 2: Definir os limites de integração No plano \(xy\), a região é o quarto do círculo de raio 1 no primeiro quadrante. Em coordenadas polares: - \(r\) varia de 0 a 1 - \(\theta\) varia de 0 a \(\frac{\pi}{2}\) (primeiro quadrante) - \(z\) varia de 0 a 2 Passo 3: Expressar a função e o volume em coordenadas polares - \(x = r \cos \theta\) - \(y = r \sin \theta\) - \(dV = dz \, r dr d\theta\) - A função \(3(x + y) = 3(r \cos \theta + r \sin \theta) = 3r(\cos \theta + \sin \theta)\) Passo 4: Montar a integral \[ \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{r=0}^1 \int_{z=0}^2 3r(\cos \theta + \sin \theta) \, dz \, r dr d\theta \] Note que \(dV = dz \, r dr d\theta\), então o integrando é \(3r(\cos \theta + \sin \theta)\) e o volume elementar inclui outro \(r\), totalizando \(3r(\cos \theta + \sin \theta) \cdot r = 3r^2(\cos \theta + \sin \theta)\). Passo 5: Integrar em \(z\) \[ \int_0^2 dz = 2 \] Passo 6: Integral reduzida \[ 2 \int_0^{\pi/2} \int_0^1 3 r^2 (\cos \theta + \sin \theta) dr d\theta = 6 \int_0^{\pi/2} (\cos \theta + \sin \theta) \left( \int_0^1 r^2 dr \right) d\theta \] Passo 7: Integral em \(r\) \[ \int_0^1 r^2 dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \] Passo 8: Substituir e simplificar \[ 6 \times \frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} (\cos \theta + \sin \theta) d\theta = 2 \int_0^{\pi/2} (\cos \theta + \sin \theta) d\theta \] Passo 9: Integral em \(\theta\) \[ \int_0^{\pi/2} \cos \theta d\theta = \sin \theta \Big|_0^{\pi/2} = 1 - 0 = 1 \] \[ \int_0^{\pi/2} \sin \theta d\theta = -\cos \theta \Big|_0^{\pi/2} = -0 + 1 = 1 \] Somando: \(1 + 1 = 2\) Passo 10: Resultado final \[ 2 \times 2 = 4 \] Resposta: O valor da integral é 4.